직교 행렬(Orthogonal Matrix)이란 무엇인가?

직교 행렬이란?

직교 행렬이란 각 행과 열의 크기가 1이고, 각 행 벡터들이 서로 직교하고, 열 벡터들도 서로 직교하는 정사각 행렬이다. 즉, 다음 두가지 조건을 만족하는 행렬이다.

1. 행과 열의 크기가 1이다. 

2. 행 벡터들끼리 서로 직교하며, 열 벡터들끼리 서로 직교한다.

직교 벡터(Orthogonal Vector)는 서로 직교하는 벡터이고, 정규 직교 벡터(Orthonormal Vector)는 각 직교하는 벡터들의 크기가 1인 벡터를 뜻하는 것을 생각해보면, 직교 행렬은 정규 직교 벡터(Orthonormal Vector)들을 행렬에 집어 넣은 것과 같다.

이름이 정규 직교 행렬(Orthonormal Matrix)이어야 할 것 같은데 직교 행렬(Orthogonal Matrix)라 표현해서 조금 헷갈린다.

직교 행렬의 특성

이런 조건을 가진 직교 행렬은, 특수한 특성들을 몇 개 가진다. 다음은 그 특성들이다. 

이곳에서는 직교 행렬을 $\mathbf{Q}$라고 표현한다.

1. 직교 행렬의 역행렬은 전치 행렬과 동일하다. 

$\mathbf{Q}^{-1} = \mathbf{Q}^T$

2. 직교 행렬은 벡터의 길이와 내적을 보존한다. 즉, 직교 행렬로 변환된 벡터들의 길이와 내적이 변하지 않는다.

1) 직교 행렬을 곱한 벡터의 길이는 원 벡터의 길이와 같다.

$\|\mathbf{Q} \mathbf{x}\| = \|\mathbf{x}\|$

2) 직교 행렬을 통해 변환된 벡터의 내적이 변하지 않는다.

$(\mathbf{Q} \mathbf{x}) \cdot (\mathbf{Q} \mathbf{y}) = \mathbf{x} \cdot \mathbf{y}$

3. 직교 행렬의 행렬식은 $\pm 1$ 이다.

$|\mathbf{Q}| = \pm 1$