대각 행렬(Diagonal Matrix) 한 번에 정리하기

대각 행렬이란?

대각 행렬(Diagonal Matrix)은 행렬의 주 대각선(diagonal)을 제외한 모든 원소가 0인 정사각 행렬이다.

대각 행렬은 다음과 같은 형태를 가진다:

$\mathbf{D} = \begin{bmatrix}
d_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & d_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & d_{nn}
\end{bmatrix}$

대각 행렬의 특징

대각 행렬은 다음과 같은 특징을 가진다.

1. 대각선 외의 모든 원소가 0이다. $d_{ii}$ 외의 모든 원소는 0이다.

예를 들어 다음과 같은 모양은 가진다.

$\mathbf{D} = \begin{bmatrix}
3 & 0 & 0 \\
0 & 5 & 0 \\
0 & 0 & 7
\end{bmatrix}$

2. 대각 행렬의 행렬식(Determinant)는 대각선 원소를 모두 곱한 값이다. 

수식: $\det(\mathbf{D}) = \prod_{i=1}^{n} d_{ii}$

따라서 1번 예제에서 다룬 대각 행렬의 행렬식은 다음과 같다.

$\det(\mathbf{D}) = 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105$

3. 대각 행렬의 역행렬은, 대각 행렬의 원소들을 모두 역수로 만든 행렬이다.

그래야 둘이 곱했을 때 단위 행렬 $I$가 나오기 때문이다. 

$\mathbf{D}^{-1} = \begin{bmatrix}
\frac{1}{d_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & \frac{1}{d_{22}} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & \frac{1}{d_{nn}}
\end{bmatrix}$

1번 예제에서 다룬 대각 행렬의 역행렬은 다음과 같다.

$\mathbf{D}^{-1} = \begin{bmatrix}
\frac{1}{3} & 0 & 0 \\
0 & \frac{1}{5} & 0 \\
0 & 0 & \frac{1}{7}
\end{bmatrix}$

4. 두 대각 행렬의 곱셈은 대응하는 대각선 원소의 곱으로 구성된 새로운 대각 행렬이다.

$\mathbf{D_1} \mathbf{D_2} = \begin{bmatrix}
d_{11}^{(1)} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & d_{22}^{(1)} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & d_{nn}^{(1)}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
d_{11}^{(2)} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & d_{22}^{(2)} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & d_{nn}^{(2)}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
d_{11}^{(1)} d_{11}^{(2)} & 0 & \cdots & 0 \\
0 & d_{22}^{(1)} d_{22}^{(2)} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & d_{nn}^{(1)} d_{nn}^{(2)}
\end{bmatrix}$

5. 대각 행렬의 고유값은 대각선 원소와 같다.

1번 예제에서 다룬 행렬의 고유값(Eigenvalue)은 3, 5, 7 이다.