아핀 변환(Affine Transformation)이란 무엇인가?

아핀 변환 이란?

아핀 변환(Affine Transformation)은 선형 변환(Linear Transformation)과 평행 이동(Translation)을 결합한 변환을 의미한다. 즉, 다음과 같은 수식 처럼 $\mathbf{x}$ 를 변환하면, 아핀 변환이다.

$ \mathbf{y} = \mathbf{A} \mathbf{x} + \mathbf{b} $

이곳에서 $\mathbf{A}$ 는 선형 변환을 하는 행렬이고, $\mathbf{b}$ 가 수평 변환을 하는 벡터이다.

아핀 변환 사용해보기

$\mathbf{x}$ 를 ${\theta}$도만큼 회전시키려면 다음과 같은 $\mathbf{A}$를 사용하면 된다. 

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix}$

즉, 45도를 회전하려면 다음과 같은 $\mathbf{A}$를 사용하면 되며

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\sin{\theta} \\ \sin{\theta} & \cos{\theta} \end{bmatrix}$

전체 수식은 다음과 같아진다.

$\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
$

이를 다음과 같이 파이썬 코드로 만들어 실행해보면

import numpy as np

# 회전 각도 (라디안 단위)
theta = np.pi / 4  # 45도 회전

# 회전 행렬 정의
rotation_matrix = np.array([
    [np.cos(theta), -np.sin(theta)],
    [np.sin(theta), np.cos(theta)]
])

# 원래 점 정의
point = np.array([1, 0])

# 회전 변환 적용
rotated_point = np.dot(rotation_matrix, point)
print("Rotated point:", rotated_point)

$\begin{pmatrix}1 & 0 \end{pmatrix}$ 에 있던 점이 45도만큼 회전해  $\begin{pmatrix}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{pmatrix}$ 으로 이동한 것을 볼 수 있다.

이런 회전 변환 외에도 다음과 같은 변환들이 있으며, 이 변환들을 $\mathbf{A}$와 $\mathbf{b}$를 적절히 활용해 만들어 낼 수 있다.

• 확대/축소(Scaling): 특정 비율로 확대하거나 축소시키는 변환.
• 이동(Translation): 일정한 벡터만큼 평행 이동시키는 변환.
• 반사(Reflection): 축을 기준으로 반사시키는 변환.
• 왜곡(Shear): 특정 방향으로 평행하게 이동시키는 변환.